大家好，今天来为大家解答为什么说有界数列不一定收敛这个问题的一些问题点，包括为什么有界数列不一定收敛也一样很多人还不知道，因此呢，今天就来为大家分析分析，现在让我们一起来看看吧！如果解决了您的问题，还望您关注下本站哦，谢谢~
本文目录
收敛数列和有界数列关系
1、数列收敛与存在极限的关系：
数列收敛则存在极限，这两个说法是等价的；
2、数列收敛与有界性的关系：
数列收敛则数列必然有界，但是反过来不一定成立！
如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。
为什么说有界数列不一定收敛
有界数列不一定收敛。例如，已知数列{(-1)^n}是有界的，但它却是发散的。换句话说，有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。又例如数列{b(n)}，b(n)=(-1)^n，|b(n)|<=1{b(n)}有界，b(n)为摆动数列，但是不收敛。
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1有界数列定义
数列{Xn}满足：对一切n有Xn≤M（其中M是与n无关的常数）称数列{Xn}上有界（有上界）并称M是他的一个上界。
对一切n有Xn≥m（其中m是与n无关的常数）称数列{Xn}下有界（有下界）并称m是他的一个下界。
一个数列{Xn}，若既有上界又有下界，则称之为有界数列。显然数列{Xn}有界的一个等价定义是：存在正实数X，使得数列的所有项都满足|Xn|≤X，n=1,2,3，……。
为什么数列有界但不一定收敛
例如(-1)^n,数列为-1,1,-1,1,...;一直震荡,显然有界,但是没极限。
为什么数列收敛不一定有界
收敛数列一定是有界的，收敛的数列{xn}，在n→∞时，xn→A，这个A是一个固定的极限值，是一个常数，所以必然有界。但这个有界不是说上下界都有，只有上界、或只有下界、或上下界都有均可以叫有界。
但是有界的数列不一定收敛，最简单的例子xn=sin(n)，或者xn=(-1)^n，它们都是有界数列，但n→∞时，xn的极限不存在，所以不收敛。也就是说前面有限个(1到N)当然有界，后面无穷多个(N+1开始)被极限控制住。
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